Sabtu, 07 Agustus 2010

SOAL BENTUK AKAR untuk PELAJARAN MATEMATIKA

1. Nilai dari {}^{3}\sqrt{5+2\sqrt{13}}+{}^{3}\sqrt{5-2\sqrt{13}} = .....

Pembahasan.

Misal 5+2\sqrt{13} = a, 5-2\sqrt{13}=b dan {}^{3}\sqrt{5+2\sqrt{13}}+{}^{3}\sqrt{5-2\sqrt{13}}=p,
a+b = 10, ab = -27
sehingga {}^{3}\sqrt{a}+{}^{3}\sqrt{b}=p.
kedua ruas dipangkatkan 3
perlu diingat;\left(a+b\right)^3=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3},
shingga :
\left({}^{3}\sqrt{a}+{}^{3}\sqrt{b}\right)^3=p^{3}
\left({}^{3}\sqrt{a}\right)^{3}+3\left({}^{3}\sqrt{a}\right)^{2}\left({}^{3}\sqrt{b}\right)+3\left({}^{3}\sqrt{a}\right)\left({}^{3}\sqrt{b}\right)^{2}+\left({}^{3}\sqrt{b}\right)^{3}=p^{3}
a +b +3 ({}^3{}\sqrt{a})({}^{3}\sqrt{b})\left({}^3{}\sqrt{a}+{}^{3}\sqrt{b}\right)=p^{3}.
10 +3 ({}^{3}\sqrt{ab})p = p^{3}.
10 + 3({}^3{}\sqrt{-27}) p = p^{3}
10 - 9p = p^{3}
p^{3} + 9p - 10 = 0
(p-1)(p^{2}+p + 10) = 0.
p = 1 .
jadi nilai dari {}^{3}\sqrt{5+2\sqrt{13}}+{}^{3}\sqrt{5-2\sqrt{13}} = 1

2. \sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{13+4\sqrt{3}}}} = .....

Pembahasan.
untuk menjawab soal ini ingat \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}= \sqrt{a} + \sqrt{b}. sehingga

\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{13+4\sqrt{3}}}}

=  \sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{13+2\sqrt{12}}}}

=  \sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{(1+12)+\sqrt{1.12}}}}

=  \sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{1}+\sqrt{12}}}

=  \sqrt{1+\sqrt{(1+3)+2\sqrt{1.3}}}

=  \sqrt{1+\sqrt{1}+\sqrt{3}}

=  \sqrt{2+\sqrt{3}}

=  \sqrt{\frac{1}{4}(8+4\sqrt{3})}

=  \sqrt{\frac{1}{4}(8+2\sqrt{12})}

=  \sqrt{\frac{1}{4}}\sqrt{(2+6)+2\sqrt{2.6})}

=  \frac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)

jadi \sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{13+4\sqrt{3}}}} = \frac{1}{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)

3. \frac{1}{3-\sqrt{8}}-\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}-2}=....

Pembahasan:
Soal ini dapat diselesaikan dengan mengalikan sekawan dari masing-masing suku. baik kita mulai dari suku pertama:

\frac{1}{3-\sqrt{8}}= \frac{1}{3-\sqrt{8}}.\frac{3+\sqrt{8}}{3+\sqrt{8}}=\frac{3+\sqrt{8}}{9-8}

jadi \frac{1}{3-\sqrt{8}}= 3+\sqrt{8}

dengan cara yang sama kita dapatkan :
\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}}= \sqrt{8}+\sqrt{7}

\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} = \sqrt{7}+\sqrt{6}

\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \sqrt{6}+\sqrt{5}

\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \sqrt{5}+2 , sehingga kita dapatkan :
\frac{1}{3-\sqrt{8}}-\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}-2}

= 3+\sqrt{8}-(\sqrt{8}+\sqrt{7})+\sqrt{7}+\sqrt{6}-(\sqrt{6}+\sqrt{5})+\sqrt{5}+2

= 3+\sqrt{8}-\sqrt{8}-\sqrt{7}+\sqrt{7}+\sqrt{6}-\sqrt{6}-\sqrt{5}+\sqrt{5}+2
= 5
Jadi \frac{1}{3-\sqrt{8}}-\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}-2}= 5

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar