ILMU PELAJARAN DAN PENDIDIKAN SEKOLAH: Persamaan EKSPONEN dalam MATEMATIKA

Sabtu, 07 Agustus 2010

Persamaan EKSPONEN dalam MATEMATIKA

Soal persamaan eksponen.

1. Bila $x_{1}$ dan $x_{2}$ penyelesaian dari persamaan $2^{2x}-6.2^{x+1}+32=0$ dengan $x_{1}>x_{2}$ x_{2}" title="x_{1}>x_{2}" class="latex">. maka nilai dari $2x_{1}+x_{2}=....$ (UAN 2009)

Pembahasan.
misalkan $2^{x} = p$ , maka persamaan $2^{2x}-6.2^{x+1}+32=0$ , kita ubah menjadi
$\left(2^{x}\right)^{2}- 6.2^{x}.2 + 32 = 0$
$\left(2^{x}\right)^{2}- 12.2^{x} + 32 = 0$
subtitusi $2^{x}=p$ pada persamaan diatas, sehingga menjadi
$p^{2}-12p+32=0$ ,
$(p-8)(p-4)=0$
kita dapatkan $p = 8$ atau $p = 4$ .
untuk $p = 8$ , $2^{x}=8$ , $x = 3$ dan
$p = 4$ , $2^{x}= 4$ , $x = 2$ , karena $x_{1}>x_{2}$ x_{2}" title="x_{1}>x_{2}" class="latex">, maka nilai dari $2x_{1}+x_{2}= 2.3 +2 = 8$

2. Diketahui $2^{2x}+2^{-2x}=23$ . Nilai $2^{x}+2^{-x} = ...$ (UAN 2001)

Pembahasan

Ingat bentuk $\left(a+b\right)^{2}= a^{2}+2a.b+b^{2}$ , sehingga kita dapatkan :

$\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}=\left(2^{x}\right)^{2}+2.2^{x}.2^{-x}+\left(2^{-x}\right)^{2}$

$\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}= \left(2^{x}\right)^{2}+\left(2^{-x}\right)^{2}+2.2^{x-x}$

$\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}= 2^{2x}+2^{-2x}+ 2.1$

$\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}= 23 + 2 =25$

jadi $\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}=25$ sehingga nilai dari
$2^{x}+2^{-x} = \pm 5$
karena $2^{x}> 0$ 0" title="2^{x}> 0" class="latex">, maka nilai dari $2^{x}+2^{-x} = 5$

3. Himpunan penyelesaian dari $8^{x-1}=32^{5 + 2x}$ adalah …. (EBT 91).

Pembahasan.

Penyelesaian soal ini dengan merubah 8 dan 32 menjadi bilangan $2^{3}$ dan $2^{5}$
$8^{x-1}=32^{5 + 2x}$

$\left(2^{3}\right)^{x-1}=\left(2^{5}\right)^{5 + 2x}$

$2^{3x-3}=2^{25+10x}$ sehingga kita dapatkan

$3x - 3 = 25 + 10x$
$-7x = 28$
$x = -4$
Jadi penyelesaiannya adalah {-4}.

4. Penyelesaian persamaan $3^{2x^{2}+5x-3}=27^{2x+3}$ adalah $\alpha$ dan $\beta$ . Nilai dari $\alpha \times \beta$ adalah ….

Pembahasan.

Penyelesaian ini dengan merubah 27 menjadi bilangan berpangkat yaitu $3^{3}$ . sehingga kedua ruas mempunyai bilangan pokok yang sama yaitu 3.

$3^{2x^{2}+5x-3}=27^{2x+3}$

$3^{2x^{2}+5x-3}=3^{3^{2x+3}}$

$3^{2x^{2}+5x-3}=3^{6x+9}$
sehingga kita dapatkan persamaan:

$2x^{2}+5x-3=6x+9$

$2x^{2}-x-12=0$ , kita ingat jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah solusi dari persamaan di atas, maka kita dapatkan
$\alpha \times \beta = \frac{c}{a}$ . (jumlh dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat).
dari persamaan $2x^{2}-x-12=0$ , didapat a = 2, b = -1 dan c = -12, sehingga
$\alpha \times \beta = \frac{-12}{2}= -6$ .