ILMU PELAJARAN DAN PENDIDIKAN SEKOLAH: Agustus 2010

Selasa, 10 Agustus 2010

KONSEP MOL dan MOLEKUL dalam KIMIA

PENGERTIAN KONSEP MOL Setiap zat yang ada di alam tersusun atas partikel-partikel dalam bentuk atom, molekul, dan ion. Ukuran partikel-partikel zat tersebut sangat kecil sehingga kita sulit untuk menghitungnya. Jumlah partikel dalam suatu zat juga sangat banyak dan hal itu membuat kita sulit untuk menghitungnya. Para ahli kimia berhasil menemukan cara menghitung jumlah partikel, massa zat, dan volume gas, yang disebut: STOIKIOMETRI (Hubungan kuantitatif antara zat-zat yang terlibat dalam reaksi).

:Apakah massa 1 lusin kelereng sama dengan massa 1 lusin bola pingpong?

:Dalam ilmu kimia, satuan yang digunakan untuk menyatakan jumlah partikel dalam zat dinamakan MOL. Jumlah partikel-partikel atom, molekul,atau ion dalam 1 mol zat akan sama dengan jumlah partikel-partikel dalam 1 mol zat lainnya. Namun, massa setiap zat dalam 1 mol tidak sama. Berapakah jumlah partikel dalam 1mol zat ?

:Standar yang digunakan untuk menyatakan 1 mol adalah jumlah partikel dalam isotop atom C-12 bermassa 12 gram. Jumlah partikel atom karbon yang terdapat dalam 12 gram atom C-12 merupakan suatu bilangan yang sangat besar dan disebut tetapan Avogadro ( L ). Besarnya tetapan Avogadro: 1 sma = 1,661 x 10-24 gram Massa 1 atom C-12 = 12 sma (12 x 1,661.10-24gram = 1,9932.10-23gram) Jumlah partikel atom C-12 dalam 12 gram unsur C-12 12 gram = = 6,02 x 10 23 atom C-12 1,9932.10-23gram/atom

1 mol suatu zat (unsur atau senyawa) adalah banyaknya zat itu mengandung 6,02 x 10 23 partikel (atom, molekul, ion). :1 mol suatu zat (unsur atau senyawa) adalah banyaknya zat itu mengandung 6,02 x 10 23 partikel (atom, molekul, ion). 1 mol unsur emas (Au) mengandung 6,02 x 10 23 atom Au 1 mol senyawa NH3 mengandung 6,02 x 10 23 molekul NH3 1 mol NaCl mengandung 6,02 x 10 23 molekul NaCl 1 mol Na mengandung 6,02 x 10 23 atom Na 1 mol Na+ atau Cl- mengandung 6,02 x 10 23 ion Na+ atau Cl- Kesimpulan Jumlah partikel = Jumlah mol x 6,02.1023 Jumlah partikel = n x L Jumlah partikel = atom untuk unsur = molekul untuk senyawa kovalen = ion untuk senyawa ion

:Contoh soal : Jika diketahui tetapan Avogadro = 6,02. 1023, tentukan : Jumlah molekul H2S dalam 0,4 mol H2S b. Jumlah atom H dalam 0,4 mol H2S c. Jumlah atom S dalam 0,4 mol H2S d. Jumlah atom-atom unsur dalam 0,4 mol H2S

:Jumlah molekul H2S = n x L = 0,4 x 6,02.1023 = 2,408.1023 molekul-molekul H2S

:b. Jumlah atom H = n x L = 0,4 x 2 x 6,02.1023 = 4,816.1023 atom-atom H

c. Jumlah atom S = n x L = 0,4 x 1 x 6,02.1023 = 2,408.1023 atom-atom S

:d. Jumlah atom-atom unsur dalam H2S = n x L = 0,4 x 3 x 6,02.1023 = 7,224.1023 atom-atom

:Berapakah massa atom dan molekul yang terdapat dalam 1 mol zat ? Untuk mengetahuinya kamu harus memahami terlebih dahulu massa atom relatif (Ar) dan massa molekul relatif (Mr). Ar unsur = perbandingan massa atom suatu unsur terhadap satu per dua belas kali massa satu atom karbon yang bermassa 12. Mr senyawa = perbandingan massa molekul suatu senyawa terhadap satu per dua belas kali massa satu atom karbon yang bermassa 12. Mr = S Ar

:Hitung massa molekul relatif (Mr) zat-zat berikut: H2S Cl2 HCl C6H12O6 MgSO4.7H20 Diketahui : Ar H=1; S=32; Cl=35,5; C=12; O=16; Mg=24. Bagaimanakah hubungan antara Ar dan Mr ?

H2S tersusun atas 2 atom H dan 1 atom S Mr H2S = (2 x Ar H) + (1 x Ar S) = (2 x 1) + ( 1 x 32) = 34

. Cl2 tersusun atas 2 atom Cl Mr Cl2 = (2 x Ar Cl) = (2 x 35,5) = 71

:c. HCl tersusun atas 1 atom H dan 1 atom Cl Mr HCl = (1 x Ar H) + (1 x Ar Cl) = (1 x 1) + ( 1 x 35,5) = 36,5

:d. C6H12O6 tersusun atas 6 atom C , 16 atom H dan 6 atom O Mr C6H12O6 = (6 x Ar C) + (12 x Ar H) + (6 x Ar O) = (6 x 12) + (12 x 1) + (6 x 16) = 180

:MgSO4.7H2O tersusun atas : 1atom Mg, 1atom S, 11 atom O dan 14 atom H Mr MgSO4.7H2O = (1 x Ar Mg) + (1 x Ar S) + (11 x Ar O) + (14 x Ar H) = (1 x 24) + (1 x 32) + (11 x 16) + (14 x 1) = 246

:Berapakah massa 1 mol unsur dan senyawa ? Unsur Monoatomik Massa Atom Unsur = Jumlah mol x Ar Molekul Diatomik Massa Molekul Senyawa= Jumlah mol x Mr Senyawa Senyawa ion Massa Senyawa ion = Jumlah mol x Mr Senyawa kovalen Massa Senyawa kovalen = Jumlah mol x Mr

:Massa Zat = Jumlah mol x Ar/Mr G = n x Ar/Mr

:Contoh Hitunglah massa zat-zat berikut ! 1 mol atom Ba 2 mol gas O2 0,5 mol H2O 0,02 mol NaCl O,3 mol C6H12O6 Diketahui : Ar H=1; C=12; O=16; Na=23; Cl=35,5; Ba=137

a. 1 mol atom Ba :a. 1 mol atom Ba Massa atom Ba = Jumlah mol x Ar Ba = 1 x 137 = 137 gram

b. 2 mol gas O2 :b. 2 mol gas O2 Massa gas O2 = Jumlah mol x Mr O2 = 2 x 32 = 64 gram

c. 0,5 mol H2O Massa H2O = Jumlah mol x Mr H2O = 0,5 x 18 = 9 gram

d. 0,02 mol NaCl :d. 0,02 mol NaCl Massa NaCl = Jumlah mol x Mr NaCl = 0,02 x 58,5 = 1,17 gram

e. 0,3 mol C6H12O6 :e. 0,3 mol C6H12O6 Massa C6H12O6 = Jumlah mol x Mr C6H12O6 = 0,3 x 180 = 54 gram

Berapakah volume 1mol gas ? :Berapakah volume 1mol gas ? Volume 1 mol suatu gas pada keadaan standar (O0C,1 atm) disebut volume molar gas, yang besarnya = 22,4 liter. Menurut hipotesis Avogadro, pada volume yang sama, gas-gas yang berbeda (pada suhu dan tekanan yang sama) mengandung jumlah partikel yang jumlahnya sama. Jadi dapat disimpulkan bahwa Volume gas berbanding lurus dengan jumlah mol (n)

Volume gas pada STP :Volume gas pada STP Volume = Jumlah mol x volume molar V = n x Vm V = mol x 22,4 L/mol

Volume gas pada keadaan suhu dan tekanan diketahui. :Volume gas pada keadaan suhu dan tekanan diketahui. P V = n R T V = n R T P

:P = Tekanan (Atm) V = Volume (Liter) n = mol R = Tetapan Gas Ideal (0,082 atm L/mol K) T = Suhu dalam Kelvin (O0C = 273 K)

Volume gas pada keadaan gas lain diketahui. :Pada suhu dan tekanan yang sama, volume berbanding lurus dengan jumlah molnya. Volume gas pada keadaan gas lain diketahui.

:Tentukan volume gas-gas berikut : 0,5 mol gas Cl2 1 mol gas N2 2 mol gas CO 0,5 mol gas Cl2 V = 0,5 x 22,4 = 11,2 liter 0,5 mol gas Cl2 V = 0,5 x 22,4 = 11,2 liter b. 1 mol gas N2 V = 1 x 22,4 = 22,4 liter c. 2 mol gas CO V = 2 x 22,4 = 44,8 liter

Contoh : 2 Berapakah volume 6,4 gram gas SO2 yang diukur pada suhu 27oC tekanan 38 cmHg? (Ar S=32, O=16) P V = n R T V = n R T P V = 0,1 x 0,082 x 300 0,5 V = 4,92 liter n = G SO2/MrSO2 n = 6,4/64 n = 0,1 mol P = 38 cmHg/76 cmHg = 0,5 atm T = (27 + 273)K T = 300 K

:Contoh : 3 Pada suhu dan tekanan tertentu, volume dari 8 gram gas SO3 adalah 2,5 liter. Pada keadaan yang sama tentukan volume dari 18 gram gas NO.(Ar S=32; N=14; O=16) n n = V V (gasSO3) (gasNO) 0,1 mol 0,6 mol = 2,5 liter V NO V NO = (2,5 x 0,6)/0,1 =15 liter n = G/Mr n SO3 = 8/80 = 0,1 mol n NO = 18/30 = 0,6 mo

HUKUM PERBANDINGAN VOLUME DALAM KIMIA

Hukum Perbandingan Volume (Gay Lusssac)

Pada awalnya para ilmuwan menemukan bahwa, gas Hidrogen dapat bereaksi dengan gas Oksigen membentuk air. Perbandingan volume gas Hidrogen dan Oksigen dalam reaksi tersebut adalah tetap, yakni 2 : 1.

Kemudian di tahun 1808, ilmuwan Perancis, Joseph Louis Gay Lussac, berhasil melakukan percobaan tentang volume gas yang terlibat pada berbagai reaksi dengan menggunakan berbagai macam gas.

HUKUM PERBANDINGAN BERGANDA DALAM KIMIA

Hukum Perbandingan Berganda (Hukum Dalton)

Komposisi kimia ditunjukkan oleh rumus kimianya. Dalam senyawa, seperti air, dua unsur bergabung masing-masing menyumbangkan sejumlah atom tertentu untuk membentuk suatu senyawa. Dari dua unsur dapat dibentuk beberapa senyawa dengan perbandingan berbeda-beda. MIsalnya, belerang dengan oksigen dapat membentuk senyawa SO2 dan SO3. Dari unsur hidrogen dan oksigen dapat dibentuk senyawa H2O dan H2O2.

HUKUM PERBANDINGAN TETAP DALAM KIMIA

Hukum Perbandingan Tetap (Hukum Proust)

Pada modul sebelumnya, Anda telah mempelajari rumus kimia senyawa. Dan Anda telah mengenal berbagai senyawa yang dibentuk oleh dua unsur atau lebih sebagai contoh, air (H2O). Air dibentuk oleh dua unsur yaitu unsur Hidrogen dan Oksigen. Seperti Anda ketahui bahwa materi mempunyai massa, termasuk hidrogen dan oksigen. Bagaimana kita mengetahui massa unsur hidrogen dan oksigen yang terda, seorang ahli kimia Perancis, yang bernama Joseph Louis Proust (1754-1826), mencoba menggabungkan hidrogen dan oksigen untuk membentuk air.

HUKUM KEKEKALAN MASSA DALAM KIMIA

Hukum Kekekalan Massa (Hukum Lavoisier)

Pernahkah Anda memperhatikan sepotong besi yang dibiarkan di udara terbuka, dan pada suatu waktu kita akan menemukan, bahwa besi itu telah berubah menjadi karat besi. Jika kita timbang massa besi sebelum berkarat dengan karat besi yang dihasilkan, ternyata massa karat besi lebih besar . Benarkah demikian?
Anda yang sering melihat kayu atau kertas terbakar, hasil yang diperoleh adalah sejumlah sisa pembakaran berupa abu. Jika Anda menimbang abu tersebut, maka massa abu akan lebih ringan dari massa kayu atau kertas sebelum dibakar. Benarkah demikian?
Dari kejadian tersebut, kita mendapatkan gambaran bahwa seolah-olah dalam suatu reaksi kimia, ada perbedaan massa zat, sebelum dan sesudah reaksi.

Pada pelajaran /modul yang lalu, Anda telah menerapkan Hukum kekkalan massa, dalam menyetarakan persamaan reaksi, artinya massa zat sebelum reaksi sama dengan massa sesudah reaksi. Untuk memahami hukum kekekalan massa, Anda dapat melakukan percobaan perorangan, atau kelompok di rumah atau di sekolah induk (jika memungkinkan).

HUKUM DASAR DAN PERHITUNGAN KIMIA

Dalam ilmu kimia, stoikiometri (kadang disebut stoikiometri reaksi untuk membedakannya dari stoikiometri komposisi) adalah ilmu yang mempelajari dan menghitung hubungan kuantitatif dari reaktan dan produk dalam reaksi kimia (persamaan kimia). Kata ini berasal dari bahasa Yunani stoikheion (elemen) dan metriā (ukuran).

hukum-hukum kimia sebenarnya merupakan hukum fisika yang diterapkan dalam sistem kimia. Konsep yang paling mendasar dalam kimia adalah Hukum kekekalan massa yang menyatakan bahwa tidak ada perubahan jumlah zat yang terukur pada saat reaksi kimia biasa. Fisika modern menunjukkan bahwa sebenarnya energilah yang kekal, dan bahwa energi dan massa saling berkaitan. Kekekalan energi ini mengarahkan kepada pentingnya konsep kesetimbangan, termodinamika, dan kinetika

Kimia sering disebut sebagai "ilmu pusat" karena menghubungkan berbagai ilmu lain, seperti fisika, ilmu bahan, nanoteknologi, biologi, farmasi, kedokteran, bioinformatika, dan geologi [1]. Koneksi ini timbul melalui berbagai subdisiplin yang memanfaatkan konsep-konsep dari berbagai disiplin ilmu. Sebagai contoh, kimia fisik melibatkan penerapan prinsip-prinsip fisika terhadap materi pada tingkat atom dan molekul.

Kimia berhubungan dengan interaksi materi yang dapat melibatkan dua zat atau antara materi dan energi, terutama dalam hubungannya dengan hukum pertama termodinamika. Kimia tradisional melibatkan interaksi antara zat kimia dalam reaksi kimia, yang mengubah satu atau lebih zat menjadi satu atau lebih zat lain. Kadang reaksi ini digerakkan oleh pertimbangan entalpi, seperti ketika dua zat berentalpi tinggi seperti hidrogen dan oksigen elemental bereaksi membentuk air, zat dengan entalpi lebih rendah. Reaksi kimia dapat difasilitasi dengan suatu katalis, yang umumnya merupakan zat kimia lain yang terlibat dalam media reaksi tapi tidak dikonsumsi (contohnya adalah asam sulfat yang mengkatalisasi elektrolisis air) atau fenomena immaterial (seperti radiasi elektromagnet dalam reaksi fotokimia). Kimia tradisional juga menangani analisis zat kimia, baik di dalam maupun di luar suatu reaksi, seperti dalam spektroskopi.

Semua materi normal terdiri dari atom atau komponen-komponen subatom yang membentuk atom; proton, elektron, dan neutron. Atom dapat dikombinasikan untuk menghasilkan bentuk materi yang lebih kompleks seperti ion, molekul, atau kristal. Struktur dunia yang kita jalani sehari-hari dan sifat materi yang berinteraksi dengan kita ditentukan oleh sifat zat-zat kimia dan interaksi antar mereka. Baja lebih keras dari besi karena atom-atomnya terikat dalam struktur kristal yang lebih kaku. Kayu terbakar atau mengalami oksidasi cepat karena ia dapat bereaksi secara spontan dengan oksigen pada suatu reaksi kimia jika berada di atas suatu suhu tertentu.

Zat cenderung diklasifikasikan berdasarkan energi, fase, atau komposisi kimianya. Materi dapat digolongkan dalam 4 fase, urutan dari yang memiliki energi paling rendah adalah padat, cair, gas, dan plasma. Dari keempat jenis fase ini, fase plasma hanya dapat ditemui di luar angkasa yang berupa bintang, karena kebutuhan energinya yang teramat besar. Zat padat memiliki struktur tetap pada suhu kamar yang dapat melawan gravitasi atau gaya lemah lain yang mencoba merubahnya. Zat cair memiliki ikatan yang terbatas, tanpa struktur, dan akan mengalir bersama gravitasi. Gas tidak memiliki ikatan dan bertindak sebagai partikel bebas. Sementara itu, plasma hanya terdiri dari ion-ion yang bergerak bebas; pasokan energi yang berlebih mencegah ion-ion ini bersatu menjadi partikel unsur. Satu cara untuk membedakan ketiga fase pertama adalah dengan volume dan bentuknya: kasarnya, zat padat memeliki volume dan bentuk yang tetap, zat cair memiliki volume tetap tapi tanpa bentuk yang tetap, sedangkan gas tidak memiliki baik volume ataupun bentuk yang tetap.

Air (H2O) berbentuk cairan dalam suhu kamar karena molekul-molekulnya terikat oleh gaya antarmolekul yang disebut ikatan Hidrogen. Di sisi lain, hidrogen sulfida (H2S) berbentuk gas pada suhu kamar dan tekanan standar, karena molekul-molekulnya terikat dengan interaksi dwikutub (dipole) yang lebih lemah. Ikatan hidrogen pada air memiliki cukup energi untuk mempertahankan molekul air untuk tidak terpisah satu sama lain, tapi tidak untuk mengalir, yang menjadikannya berwujud cairan dalam suhu antara 0 °C sampai 100 °C pada permukaan laut. Menurunkan suhu atau energi lebih lanjut mengizinkan organisasi bentuk yang lebih erat, menghasilkan suatu zat padat, dan melepaskan energi. Peningkatan energi akan mencairkan es walaupun suhu tidak akan berubah sampai semua es cair. Peningkatan suhu air pada gilirannya akan menyebabkannya mendidih (lihat panas penguapan) sewaktu terdapat cukup energi untuk mengatasi gaya tarik antarmolekul dan selanjutnya memungkinkan molekul untuk bergerak menjauhi satu sama lain.

Ilmuwan yang mempelajari kimia sering disebut kimiawan. Sebagian besar kimiawan melakukan spesialisasi dalam satu atau lebih subdisiplin. Kimia yang diajarkan pada sekolah menengah sering disebut "kimia umum" dan ditujukan sebagai pengantar terhadap banyak konsep-konsep dasar dan untuk memberikan pelajar alat untuk melanjutkan ke subjek lanjutannya. Banyak konsep yang dipresentasikan pada tingkat ini sering dianggap tak lengkap dan tidak akurat secara teknis. Walaupun demikian, hal tersebut merupakan alat yang luar biasa. Kimiawan secara reguler menggunakan alat dan penjelasan yang sederhana dan elegan ini dalam karya mereka, karena terbukti mampu secara akurat membuat model reaktivitas kimia yang sangat bervariasi.

Ilmu kimia secara sejarah merupakan pengembangan baru, tapi ilmu ini berakar pada alkimia yang telah dipraktikkan selama berabad-abad di seluruh dunia.

PENGERTIAN STOIKIOMETRI DALAM PERHITUNGAN KIMIA

Salah satu aspek penting dari reaksi kimia adalah hubungan kuantitatif antara zat-zat yang terlibat dalam reaksi kimia, baik sebagai pereaksi maupun sebagai hasil reaksi. Stoikiometri (stoi-kee-ah-met-tree) merupakan bidang dalam ilmu kimia yang menyangkut hubungan kuantitatif antara zat-zat yang terlibat dalam reaksi kimia, baik sebagai pereaksi maupun sebagai hasil reaksi. Stoikiometri juga menyangkut perbandingan atom antar unsur-unsur dalam suatu rumus kimia, misalnya perbandingan atom H dan atom O dalam molekul H2O. Kata stoikiometri berasal dari bahasa Yunani yaitu stoicheon yang artinya unsur dan metron yang berarti mengukur. Seorang ahli Kimia Perancis, Jeremias Benjamin Richter (1762-1807) adalah orang yang pertama kali meletakkan prinsip-prinsip dasar stoikiometri. Menurutnya stoikiometri adalah ilmu tentang pengukuran perbandingan kuantitatif atau pengukuran perbandingan antar unsur kimia yang satu dengan yang lain.

Mengapa kita harus mempelajari stoikiometri? Salah satu alasannya, karena mempelajari ilmu kimia tidak dapat dipisahkan dari melakukan percobaan di laboratorium. Adakalanya di laboratorium kita harus mereaksikan sejumlah gram zat A untuk menghasilkan sejumlah gram zat B. Pertanyaan yang sering muncul adalah jika kita memiliki sejumlah gram zat A, berapa gramkah zat B yang akan dihasilkan? Untuk menjawab pertanyaan itu kita memerlukan stoikiometri.

Stoikiometri erat kaitannya dengan perhitungan kimia. Untuk menyelesaikan soal-soal perhitungan kimia digunakan asas-asas stoikiometri yaitu antara lain persamaan kimia dan konsep mol. Pada pembelajaran ini kita akan mempelajari terlebih dahulu mengenai asas-asas stoikiometri, kemudian setelah itu kita akan mempelajari aplikasi stoikiometri pada perhitungan kimia beserta contoh soal dan cara menyelesaikannya.

Sabtu, 07 Agustus 2010

RUMUS PADA BANGUN DATAR

a. RUMUS Segitiga.
Luas segitiga $L= \frac{1}{2}\times a \times t$ , dimana a = alas dan t = tinggi.
rumus Heron
Luas segitiga, $L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ , dimana $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ , a,b, dan c panjang sisi segitiga.
$L = \frac{1}{2}bc \sin\alpha=\frac{1}{2}ac\sin\beta=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$
RUMUS Segitiga sama sisi dengan panjang sisi a ,
Luas, $L =\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ ,
tinggi, $t=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
Keliling, K = 3 x a.

b. RUMUS Persegi ( bujur sangkar), dengan panjang sisi = a
Luas , $L= a^{2}$
Keliling, $K = 4\times a$
Panjang diagonal $= a \sqrt{2}$

c. RUMUS Persegi panjang, dengan panjang = p dan lebar = l.
Luas, $L = p \times l$
Keliling, $K = 2(p+l)$
Panjang diagonal, $= \sqrt{p^{2}+l^{2}}$ .

d. RUMUS Lingkaran

Luas lingkaran, $L = \pi \times r^{2}$ , dimana r = jari-jari
Keliling lingkaran, $K = 2 \times \pi \times r$
Jari-jari lingkaran luar suatu segitiga
$R = \frac{abc}{4L}$ , dimana a,b,c sisi sisi segitiga dan L luas segitiga.
Jari-jari lingkaran dalam suatu segitiga
$r = \frac{L}{s}$ , dimana L luas segitiga dan $s = \frac{a+b+c}{2}$ .

e. RUMUS Jajaran genjang
Luas Jajaran genjang, $L= a \times t$ , dimana a = alas dan t = tinggi.
$L = a \times b \times \sin \alpha$ , dimana a, b sisi yang membentuk sudut $\alpha$ .
Keliling, $K = 2(a+b)$ , a dan b sisi yang tak berhadapan

f. RUMUS Trapesium.

Luas trapesium, $L = \frac{1}{2}\times (a+b)\times t$ , dimana a, b sisi yang sejajar dan t tinggi.

g. RUMUS Segi empat
Segiempat ABCD dengan AB = a cm, BC = b cm, CD= c dan DA = d cm, luas segiempat , $L^2 = (s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd \cos^{2}\alpha$ , dengan $s=\frac{a+b+c+d}{2}$ dan $2 \alpha$ adalah jumlah sudut yang saling berhadapan.

h. RUMUS Segi n beraturan.
Luas , $=\frac{1}{4}na^{2}\cot \frac{\pi}{n}$ .

Rataan Aritmetika, Geometri dan Harmonik dalam MATEMATIKA

Jika n buah bilangan real positif $a_{1},a_{2},a_{3},...a_{n}$ , maka didefinisikan bahwa:
Rataan Aritmetika atau Arithmetic Mean (AM)
$AM =\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}{n}$ .

Rataan geometri atau geometric mean (GM)
$GM = {}^{n}\sqrt{a_{1}\times a_{2}\times a_{3}\times ... \times a_{n}}$

Rataan harmonik atau Harmonic Mean (HM)
$HM =\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{ a_{2}}+\frac{1}{ a_{3}}+ ... +\frac{1}{ a_{n}}}$

Perhatikan uraian dibawah ini
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geq 0$
$a + b - 2\sqrt{ab}\geq 0$
$a + b \geq 2\sqrt{ab}$
$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ ………… (1)
Jika kedua ruas persamaan (1)dibagi dengan ab, maka didapat
$\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}{2} \geq \frac{1}{\sqrt{ab}}$
sehingga ${\sqrt{ab}} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ …… (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
dan terlihat bahwa $AM\geq GM \geq HM$

Untuk pembuktian pertidaksamaan diatas bisa dilihat pada situs :http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means.

Contoh
jika a,b,c,d adalah bilangan real positif, tunjukkan bahwa
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\geq 4$

Bukti.
a,b,c,d bilangan real positif , berakibat $\frac {a}{b}$ , $\frac {b}{c}$ , $\frac{c}{d}$ , $\frac {d}{a}$ juga bilangan real positif, sehingga berlaku
$AM \geq GM$
$\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}}{4} \geq {}^{4}\sqrt {\frac{a}{b}\times \frac{b}{c}\times \frac{c}{d}\times \frac{d}{a}}$
$\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}}{4} \geq 1$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} \geq 4$ .
terbukti.

PEMBAHASAN SOAL LOGARITMA

Tentukan penyelesaian dari ${}^{a}\log b +{}^{b}\log a = \frac {10}{3}$ dan $ab = 16$ .

Jawab.

misalkan ${}^{a}\log b = x$ ,
${}^{a}\log b +{}^{b}\log a = \frac {10}{3}$
$x + \frac{1}{x}=\frac{10}{3}$ . Kedua ruas dikalikan x, sehingga diperoleh :
$x^{2}+ 1 = \frac{10}{3}x$
$3x^{2}-10x+3 = 0$
$\left(3x-1\right)\left (x-3\right) = 0$
$x = \frac{1}{3}$ atau $x = 3$ , subtitusi pada ${}^{a}\log b = x$ , sehingga:
${}^{a}\log b = \frac{1}{3}$
$b = a^{\frac{1}{3}}$ , karena $ab = 16$ , maka diperoleh:
$a.a^{\frac{1}{3}}=16$