ILMU PELAJARAN DAN PENDIDIKAN SEKOLAH: CONTOH SOAL DAN KUNCI JAWABAN PEMBAHASAN KOMBINATORIK

Sabtu, 07 Agustus 2010

CONTOH SOAL DAN KUNCI JAWABAN PEMBAHASAN KOMBINATORIK

Berikut ini soal-soal dan pembahasan kombinatorik yang dapat digunakan untuk menambah wawasan tentang konsep -konsep kombinatorik.
1. Buktikan bahwa $_{n+1}C_{r}= _{n}C_{r-1}+_{n}C_{r}$

Bukti :

kita gunakan rumus kombinasi $_{n}C_{r}= \frac{n!}{(n-r)!.r!}$
Sehingga :

$_{n}C_{r-1}= \frac{n!}{(n-(r-1))!.(r-1)!}$

$_{n}C_{r-1}= \frac{n!}{(n+1-r)!.(r-1)!}$

$_{n}C_{r-1}= \frac{n!.r}{(n+1-r)(n-r)!.r.(r-1)!}$

$_{n}C_{r-1}= \frac{r}{(n+1-r)}.\frac{n!}{(n-r)!.r!}$

sehingga :
$_{n}C_{r-1}+_{n}C_{r}= \frac{r}{(n+1-r)}.\frac{n!}{(n-r)!.r!}+\frac{n!}{(n-r)!.r!}$

$_{n}C_{r-1}+_{n}C_{r}= \left(\frac{r}{(n+1-r)}+1\right).\frac{n!}{(n-r)!.r!}$

$_{n}C_{r-1}+_{n}C_{r}= \left(\frac{r+n+1-r}{(n+1-r)}\right).\frac{n!}{(n-r)!.r!}$

$_{n}C_{r-1}+_{n}C_{r}= \left(\frac{n+1}{(n+1-r)}\right).\frac{n!}{(n-r)!.r!}$

$_{n}C_{r-1}+_{n}C_{r}= \frac{(n+1).n!}{(n+1-r).(n-r)!.r!}$

$_{n}C_{r-1}+_{n}C_{r}= \frac{(n+1)!}{(n+1-r)!.r!}$

$_{n}C_{r-1}+_{n}C_{r}=_{n+1}C_{r}$

2. Buktikan bahwa $_{n}C_{r+1}= \frac{n-r}{r+1}._{n}C_{r}$

Bukti :
$_{n}C_{r+1}=\frac{n!}{(n-(r+1))!.(r+1)!}$

$=\frac{n!}{((n-1)-r)!.(r+1).r!}$

$=\frac{n!}{((n-1)-r)!.(r+1).r!}.\frac{n-r}{n-r}$

$= \frac{(n-r).n!}{(r+1).(n-r).((n-1)-r)!.r!}$

$=\frac{n-r}{r+1}.\frac{n!}{(n-r).((n-1)-r)!.r!}$

$=\frac{n-r}{r+1}.\frac{n!}{(n-r)!.r!}$

$=\frac{n-r}{r+1}._{n}C_{r}$

Jadi terbukti bahwa $_{n}C_{r+1}= \frac{n-r}{r+1}._{n}C_{r}$

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)