ILMU PELAJARAN DAN PENDIDIKAN SEKOLAH: INTEGRAL 1 dalam MATEMATIKA

Sabtu, 07 Agustus 2010

INTEGRAL 1 dalam MATEMATIKA

Soal dan pembahasan dari UAN IPA

1. Hasil $\int_{}^{}\frac{x^{2}dx}{\sqrt{x^{3}-5}} =...$ (UAN 01)

Pembahasan :

misal $u = x^{3}-5$ , maka $\frac{du}{dx}=3x^{2}$ , sehingga $\frac{du}{3}=x^{2}dx$ .

$\int_{}^{}\frac{x^{2}dx}{\sqrt{x^{3}-5}} =\int_{}^{}\frac{du}{3\sqrt{u}}$

$= \frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{du}{{u}^{\frac{1}{2}} }$

$= \frac{1}{3}\int_{}^{}{{u}^{-\frac{1}{2}} }du$

$= \frac{1}{3}\frac{1}{\frac{1}{2}}u^\frac{1}{2}+ C$

$= \frac{2}{3}\sqrt{u}+C$

$= \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}-5}+ C$

Jaadi $\int_{}^{}\frac{x^{2}dx}{\sqrt{x^{3}-5}} =\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}-5}+ C$

2. Hasil dari $\int_{}^{}\cos x\cos4xdx=...$

Pembahasan:

Ingat rumus perkalian trigonometri yang dapat diubah menjadi bentuk penjumlahan: $\cos x \cos y=\frac{1}{2}(\cos(x+y)+\cos(x-y))$ .

$\int_{}^{}\cos x \cos 4x dx=\int_{}^{}\frac{1}{2}(\cos(x+4x)+\cos(x-4x))dx$

$= \int_{}^{}\frac{1}{2}(\cos(5x)+\cos(-3x))dx$

$= \int_{}^{}\frac{1}{2}(\cos(5x)+\cos(3x))dx$

$= \frac{1}{2}.\frac{1}{5}\sin(5x)+\frac{1}{2}.\frac{1}{3}\sin(3x)+C$

$= \frac{1}{10}\sin(5x)+\frac{1}{6}\sin(3x)+C$

Jadi $\int_{}^{}cos x \cos 4x dx= \frac{1}{10}\sin(5x)+\frac{1}{6}\sin(3x)+C$

3. $\int_{}^{}\sin^{5}x\cos x dx$ adalah …. (EBT 88)

Pembahasan

soal ini dapat diselesaikan dengan cara subtitusi $u= \sin x$ , sehingga $\frac{du}{dx}= \cos x$ .
$du = \cos x dx$ ,

$\int_{}^{}\sin^{5}x\cos x dx= \int_{}^{}u^{5}du$

$= \frac{1}{6}u^{6} +C$

$= \frac{1}{6}\sin ^{6}x +C$

Jadi $\int_{}^{}\sin^{5}x\cos x dx= \frac{1}{6}\sin ^{6}x +C$ .

4. $\int_{\sqrt{6}}^{3\sqrt{2}}x\sqrt{x^{2}-2}dx = ....$ (UAN 02)

Pembahasan

Dengan subtitusi $u = x^{2}-2$ , kita dapatkan $\frac{du}{dx}=2x$ , sehingga $\frac{du}{2}= x dx$ .

$\int_{\sqrt{6}}^{3\sqrt{2}}x\sqrt{x^{2}-2}dx$

$= \int_{\sqrt{6}}^{3\sqrt{2}}\sqrt{u}\frac{du}{2}$

$= \int_{\sqrt{6}}^{3\sqrt{2}}\frac{1}{2}u^{\frac{1}{2}}du$

$= \frac{1}{2}.\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{1}{3}(x^{2}-2)^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{1}{3}((3\sqrt{2})^{2}-2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}((\sqrt{6})^{2}-2)^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{1}{3}(18-2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}(6-2)^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{1}{3}(16)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}(4)^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{1}{3}.64 -\frac{1}{3}.8$

$= \frac{64}{3} -\frac{8}{3} = \frac{56}{3}$

Jadi $\int_{\sqrt{6}}^{3\sqrt{2}}x\sqrt{x^{2}-2}dx = \frac{56}{3}$

5. $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sin(x+\frac{\pi}{3})\cos(x+\frac{\pi}{3})dx=....$

Pembahasan

Soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus sudut rangkap: $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$
$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sin(x+\frac{\pi}{3})\cos(x+\frac{\pi}{3})dx=$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{2}\sin2(x+\frac{\pi}{3})dx$

$= -\frac{1}{4}\cos 2(x+\frac{\pi}{3})$

$= -\frac{1}{4}\cos 2(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3})-(-\frac{1}{4}\cos 2(0+\frac{\pi}{3}))$

$= -\frac{1}{4}\cos 2(\frac{3\pi}{6})-(-\frac{1}{4}\cos 2(\frac{\pi}{3}))$

$= -\frac{1}{4}\cos (\pi)-(-\frac{1}{4}\cos (\frac{2\pi}{3}))$

$= -\frac{1}{4}(-1)-(-\frac{1}{4}.-(\frac{1}{2}))$

$= \frac{1}{4}-\frac{1}{8}= \frac{1}{8}$

Jadi nilai dari $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sin(x+\frac{\pi}{3})\cos(x+\frac{\pi}{3})dx= \frac{1}{8}$

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)