Sabtu, 07 Agustus 2010

Rataan Aritmetika, Geometri dan Harmonik dalam MATEMATIKA

Jika n buah bilangan real positif a_{1},a_{2},a_{3},...a_{n}, maka didefinisikan bahwa:
Rataan Aritmetika atau Arithmetic Mean (AM)
AM =\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}{n}.

Rataan geometri atau geometric mean (GM)
GM = {}^{n}\sqrt{a_{1}\times a_{2}\times a_{3}\times ... \times a_{n}}

Rataan harmonik atau Harmonic Mean (HM)
HM =\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{ a_{2}}+\frac{1}{ a_{3}}+ ... +\frac{1}{ a_{n}}}

Perhatikan uraian dibawah ini
(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geq 0
a + b - 2\sqrt{ab}\geq 0
a + b \geq 2\sqrt{ab}
\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} ………… (1)
Jika kedua ruas persamaan (1)dibagi dengan ab, maka didapat
\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}{2} \geq \frac{1}{\sqrt{ab}}
sehingga {\sqrt{ab}} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} …… (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}
dan terlihat bahwa AM\geq GM \geq HM

Untuk pembuktian pertidaksamaan diatas bisa dilihat pada situs :http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means.

Contoh
jika a,b,c,d adalah bilangan real positif, tunjukkan bahwa
\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\geq 4

Bukti.
a,b,c,d bilangan real positif , berakibat \frac {a}{b}, \frac {b}{c}, \frac{c}{d}, \frac {d}{a} juga bilangan real positif, sehingga berlaku
AM \geq GM
\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}}{4} \geq {}^{4}\sqrt {\frac{a}{b}\times \frac{b}{c}\times \frac{c}{d}\times \frac{d}{a}}
\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}}{4} \geq 1
\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} \geq 4 .
terbukti.
Diposting oleh di
Label: , , ,

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)